La introducción de las matrices al conocimiento matemático es un método que comparten tres ilustres pensadores europeos: William R. Hamilton, irlandés (1805 – 1865), James J. Sylvester, ingles (1814 -1897) y Arthur Cayley, ingles (1821 – 1895.
El término MATRIZ fue utilizado por primera vez por Sylvester, en 1850, para designar un arreglo rectangular de números a partir del cual se pueden formar determinantes.
LAS MATRICES Y LAS DETERMINANTES
Las matrices y las determinantes corresponden a dos categorías matemáticas (y lógicas) distintas: el determinante es un numero, mientras que la matriz es un conjunto ordenado de números.
Una matriz es simplemente una disposición ordenada de elementos numéricos, esto es, una tabla de doble entrada que organiza cierta información cuantitativa o cualitativa. Esto debe interpretarse en el sentido de que entre los elementos de una matriz dada, no debe efectuarse ninguna operacion algebraica.
CONCEPTO DE MATRIZ
Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas.
Las líneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El numero de filas puede ser menor, igual o mayor que el numero de columnas.
Las filas se numeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.
En el ejemplo a.
La primera fila de la matriz es:
La segunda fila es:
La primera columna es:
Y la segunda columna es:
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz esta dado por el numero de filas y columnas que la forman.
Siempre se indica, en primer lugar, el numero de filas (hileras) y después el numero de columnas; también se puede indicar el orden de la matriz con un signo X entre el numero de filas y el de columnas, tal como 2x2, 2x4, 3x4, 4x5, mxn, etc.
En los ejemplos anteriores, la matriz a. es de orden 2x2, la matriz b. es de orden 2x4, la matriz c. es de orden 3x4 y la matriz d. es de orden 4x2.
LAS MATRICES COMO TABLA DE DOBLE ENTRADA
Las matrices suelen utilizarse para organizar sistemáticamente información de carácter estadístico útil para la toma de decisiones administrativas y/o económicas.
Ejemplo 1.
La sucursal Glorieta de la empresa comercial Librería de Marfil, registra sus ventas mensuales de libros, de acuerdo con la siguiente clasificación: literatura, artes, ciencias y otros. Al elaborar el informe para el primer trimestre de actividades, se han registrado los siguientes datos de ventas:
En resumen de esta situación puede representarse en forma sintética mediante la matriz:
Las filas representan meses del año, o sea enero, febrero y marzo; las columnas indican el tipo de libros según la clasificación mencionada, y los elementos expresan la cantidad de ejemplares vendidos por tipo y por mes.
NOTACION
A fin de mantener uniformidad en la simbología, adaptaremos algunos convenios en materia de notación.
1. NOTACION DE LAS MATRICES
Convendremos en:
- Representar las matrices mediante letras latinas mayúsculas: A, B, C, …;
- Encerrar los elementos entre corchetes;
- Indicar el orden de la matriz debajo de la letra mayúscula utilizada.
Por ejemplo:
2. NOTACION DE LOS ELEMENTOS
Además conviene disponer de una nomenclatura para identificar los elementos de una matriz, se utiliza una letra minúscula con un par de subíndices, que indican la fila y la columna correspondientes a cada elemento, por lo general se escribe
En que la letra latina minúscula a, b, c, … hace las veces de elemento genérico de la matriz A, B, C,… respectivamente, el subíndice i representa una fila, y el subíndice j una columna.
Ejemplo 1.
Sea la matriz:
- El elemento 3 se simboliza por
que se lee a sub –uno- uno,
- El elemento 7 se simboliza por
que se lee a sub-uno-dos,
- El elemento -4 se simboliza por
que se lee a sub-dos-uno
- El elemento 0 se simboliza por
que se lee a sub-dos-dos.
NOTACION GENERAL
Reuniendo los conceptos de notación y orden podemos indicar una matriz con:
- Una letra latina mayúscula
- Su elemento genérico
- Su orden.
Asi, una matriz A de orden 2x5 tal como
Se ordena abreviadamente con
En general, una matriz A de orden mxn tal como
Se indica en notacion abreviada con
Ejemplo 1
Dada la siguiente matriz
¿Cuáles son los valores numéricos de los siguientes elementos:
Solucion:
OPERACIONES ENTRE MATRICES
Presentaremos las operaciones de transposición, suma, diferencia, producto por un numero, combinación lineal, producto potencia e inversión.
El análisis de las propiedades de estas operaciones nos permitirá determinar la naturaleza del Algebra Matricial.
1. TRANSPOSICION
La transpuesta de una matriz
Es una matriz de orden (mxn) que se obtiene intercambiando filas por columnas (o lo que es igual columnas por filas). El elemento aij de la matriz A, ocupa el lugar de aij en la matriz transpuesta de A.
Se simboliza la transpuesta de la matriz A por A’.
Ejemplo:
Encontrar la matriz transpuesta de las siguientes matrices:
Solucion:
CASOS ESPECIALES DE TRANSPOSICION DE MATRICES
a. Nos preguntamos: ¿en que casos una matriz es igual a su transpuesta? Es decir, ¿Qué condiciones deben cumplirse para que sea A=A’?
1. La operación de transposición asocia a una matriz
2. La definición de igualdad de matrices nos dice que
3. Por lo tanto, la ecuación A = A’ requiere que m sea igual a n y que
En consecuencia, para que una matriz no cambie por transposición debe ser cuadrada y simétrica.
Ejemplo 1:
Las siguientes matrices son simetricas, y por lo tanto no alteran al ser sometidas a una operacion de transposicion:
En efecto se comprueba que E = E’, F = F’, I = I’ y G = G’. Las matrices diagonales, escalares e identidad son simétricas, y por lo tanto no alteran su transposición.
b. Nos preguntamos ¿en que casos una matriz es igual a la negativa de su transpuesta? Es decir, que condiciones deben cumplirse para que sea A = -A’?
1. A la matriz
2. En virtud de la definición de igualdad de matrices, la ecuación A = A’ requiere que m = n y que aij = -aij para todo i,j.
Ejemplo:
c. ¿Qué ocurre si aplicamos la operación de transposición un numero par de veces?
Comparando matrices se tiene que (J')' = J.
En consecuencia, una doble aplicacion de la operacion de transposicion deja inalterada la matriz original; la operacion de transposicion es su propia inversa.
SUMA DE MATRICES
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
- Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
- Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
- Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
- Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
- Conmutativa:
A + B = B + A
Ejemplo:
Dadas las siguientes matrices Q y R, obtenga la suma Q+R
DIFERENCIA DE MATRICES
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda:
A - B = A + ( -B ).
Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A - B es otra matriz D = (dij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento dij de la matriz D, se obtiene como: dij = aij - bij.
Ejemplo:
PRODUCTO DE MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas de la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.
(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
3 x 5 por 2 x 3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.
Esto es,
Ejemplo:
Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k•A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
DIVISIÓN DE MATRICES
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
MATRICES INVERTIBLES
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra
MÉTODO DE GAUSS
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n x 2n M = (AI ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria
PASO 1.
PASO 2
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
APLICACIÓN ECONÓMICA
"Metalmex asociados", fabricante de muebles metalicos, ha ampliado su mercado extendiendo su área de distribucion a todo el pais.
los cuatro productos que se fabrican, son solicitados por tres clases de clientes:
Consumidores directos
Consumidores minoristas
Consumidores mayoristas
Para facilitar y agilizar las operaciones de distribución, la casa matriz ubicada en el estado de Nueva León, ha instalado dos sucursales que abastecen las zonas de centro y sur del país.
Transcurrido el primer semestre de operación la empresa desea determinar:
a) El numero de unidades totales vendidas por producto y tipo de cliente.
b) El numero de unidades totales vendidas por producto.
c) Los costos de producción de las unidades vendidas.
d) Los ingresos monetarios totales.
e) Las utilidades brutas totales obtenidas.
f) La estimación de las ventas para el próximo trimestre, por zonas geográficas, producto y tipo de cliente, en el supuesto de que el incremento de las ventas será del 5%.
g) Lo erogado en el trimestre por concepto de sueldos comisiones y comisiones según el tipo de vendedor.
Se cuenta con la siguiente información:
1. Unidades vendidas en el trimestre:
2. Sueldos y comisiones pagados por mes de actividad, de acuerdo con la categoría del personal y las zonas en que opera.
3. Costos de fabricación por unidad y por tipo de producto.
4. Precios de venta por unidad y por tipo de producto
M: MATRIZ
C: SUCURSAL CENTRO
S: SUCURSAL SUR
Las matrices P, Q, R representan respectivamente lo pagado y comisiones, por categoría de personal.
F y V representan los datos de fabricación y los precios de venta por unidad y tipo
